Year:2018   Issue: 29   Area: Education Management  

Muzaffer AKSOY
A DIFFERENT PERSPECTIVE ON PRIME NUMBERS: PROOF OF GOLDBACH CONJECTURE
 
Aim: The aim of this study is to prove Goldbach’s famous Conjectures known as strong and weak conjectures. Strong Conjecture: “Every even number greater than 2 is the sum of two prime numbers”. Weak Conjecture: “Every odd integer greater than 5 can be written as the sum of three prime numbers”. Content: Searching prime numbers with predictive formulas is beyond the scope of this work. The program that generates and tests the prime number is a separate study, in this study the proofs of the Strong and Weak Goldbach Conjectures will take place. We only approach Goldbach’s Conjecture, where all required prior knowledge on prime numbers assumed as accepted by Goldbach’s works. Therefore, we start with take a look at Goldbach’s description of original problem then will try to derive a step by step proof upon that is described as in original letters. Method: Once the sub groups of the set of prime numbers were defined, theoretical framework was proved to be complete. The theoretical framework is very simple and concise, albeit the entire study is based upon that. This study is providing proof on both of conjectures. Findings and results: In this study, an effective solution to a historical problem known in mathematics but not proven to this day is introduced; the proofs of Goldbach’s Conjectures (both in Strong and Weak) are given. These proofs will open many obstacles in number theory and provide a fresh look on prime numbers and their applications. Many assumptions, conjectures in number theory will be re-evaluated. Based on this proof, another theorem on prime number is constructed with its proof. Conclusion: Many assumptions, conjectures about prime numbers will be re-evaluated under the light of given proofs. There is no reason to limit the sum in the theorem above; one can easily say that prime numbers are infinite. As a discussion, albeit there are institutionalized methods on computing prime numbers, a new way of computing bigger prime numbers can be based on this new perspective this paper has shed lights on. Proofs presented will introduce new horizons to relevant academicians on number theory. Defining this new perspective might also help one to expend this study further points related to even if there is a pattern on Prime Numbers so we can exploit that to compute bigger numbers feasibly. The prominence of major prime numbers in cryptology is known. Encryption will be redesigned in line with the proofs. The proof will open new horizons on prime numbers, the first one is this explained and proved new Prime Number Theorem: Aksoy Theorem.

Keywords: Goldbach’s conjecture, Prime Numbers, Aksoy Theorem, Weak Goldbach

Doi: 10.17364/IIB.2018.29.3

ASAL SAYILAR KÜMESİNE FARKLI BİR BAKIŞ: GOLDBACH HİPOTEZİNİN İSPATI
 
Giriş: Asal sayılar kümesinde, sistematik bir yaklaşımla asal sayı üretmek üzere ardışık bir bağlantı geliştirildi. Bu çabalar asal sayıların rastgele dizilmediğini, düzenli bir kural içinde dizildiğini gösterdi. Bir sınır verildiğinde, bu sınırın altında kalan tüm asal sayıların belirlenebileceği gösterildi. Kriptolojide çok önemli olan büyük asal sayıların belirlenmesi ve test edilmesi kolaylaştırıldı, daha da büyük asal sayı saptanması bilgisayarın gücüne kaldı. Yüz yıllardır ispatlanamayan Goldbach Hipotezi ispatlandı. Amaç: Ardışık asal sayı üreten bağlantı geliştirilirken, çalışma ilerledikçe, asırlardır ispatlanamayan Goldbach Hipotezinin tam da bu ilişkiye dayandığı görüldü, konuya odaklanınca elli yıllık çaba gerçekleşti, hipotez ispatlandı. Bu çalışmanın amacı asal sayılara getirilen yeni bir bakış açısıyla, Goldbach Hipotezlerinin ispatının sunulması ve ispatın sonuçlarından ilki olan yeni Asal Sayılar Teoreminin tanıtılmasıdır. Kapsam: Euler’e yazılan ünlü mektupta şu kestirimler vardı: “İkiden büyük her çift sayı iki asal sayının toplamıdır”. Bunun yanında “beşten büyük her tek sayı üç asal sayının toplamıdır”. Önceki Goldbach Hipotezi, sonraki Zayıf (Tek) Goldbach Hipotezi olarak bilinir. Her ikisine de bugüne kadar genel kabul görmüş bir ispat yapılamamıştır. Bu araştırmada Goldbach Hipotezlerinin her ikisi de ayrı ayrı ispatlanmış ve bulguları paylaşılmıştır. Araştırmanın Yöntemi: Öncelikle, asal sayıların kapsamı üzerinde yapılmış çalışmalar ayrıntısıyla incelendi, tıkanıklığın sebebi araştırıldı. Fermat Asalları ve Mersenne Asallarının, geniş asal sayılar kümesinin sadece ince bir dilimini kapsadığı halde araştırmacıların büyük eforunu aldığı saptandı. Asal sayıları belirlemenin yolları araştırılırken rast gele dağılmadığı, yerlerini gene asal bileşenlilerin belirlediği görüldü, gruplamanın yararlı olacağı değerlendirildi. Buradan hareketle Goldbach Hipotezine teorik bir çözüm getirildi. Araştırmanın bütününün de dayandığı bu teorik çerçeve oldukça basit, özlü ve kolay anlaşılabilir bir yöntem sağladı. Bulgular: Bu araştırmayla Goldbach Hipotezlerinin (Zayıf ve Güçlü, her ikisinin de) doğru olduğu ispatlandı. Bu ispatların ışığında yeni bir Asal Sayı Teoremi geliştirildi, öyle ki herhangi bir asal sayı p>5 kendisinden küçük olmak koşuluyla, en az 3 ve/veya olabildiğince çok 3 ün kuvvetleri kadar asal sayının toplamı biçiminde ifade edilebileceği ispatlandı. Daha büyük asal sayılara etkin ulaşmanın yolu açıldı. Bu toplamı kısıtlayan bir sınırlama olmadığından, asal sayıların sonsuza uzandığı söylenebilir. Asal sayılarla ilgilenenlerin yolunu bloke eden varsayımlar ispatlanarak aydınlatıldı. Kullanılan yöntemlerin ve bulguların ışığında araştırmacılar, daha büyük asal sayılara ulaşmanın ya da bileşenlerini belirlemenin kolaylaştığını göreceklerdir. Birçok araştırmacının öngördüğü kestirimler yeniden değerlendirilecektir. Kriptolojide büyük asal sayıları belirlemenin önemli olduğu bilinir. Büyük asal sayıları belirlemenin yolu açılmıştır, şifreleme işlemleri yeniden tasarlanacaktır. Sonuçlar: Asırlardır araştırmacıların önüne set geren Goldbach Hipotezleri ispatlanmıştır. Asal sayılara ulaşmanın incelemenin yeni yolları araştırmacılara olabildiğince açılmıştır. Bunlardan ilki olan yeni Asal Sayılar Teoremi tanıtılmıştır, bu konuda yapılacak çalışmalara ışık tutacağı düşünülmektedir. Çoğu zaman apaçık sonuçlar göz önündedir, görecek düşünecek birini bekler. Bazen de problem farklı bir bakışla o kadar şartlandırılır ki çözüm yolu çok uzaklarda kalır. Araştırmacı şüpheyi, kendi birikimini, yansız değerlendirmeyi dengeyle bir arada tutabildiğince başarıya ulaşacaktır.

Anahtar Kelimeler: Goldbach Hipotezi, Asal Sayılar, Tarihi Hipotez Çözüldü, Aksoy Teoremi

Doi: 10.17364/IIB.2018.29.3

Tam Metin